Biometria
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Binômio de Newton e Triângulo de Pascal
(Leitura complementar ao capítulo2)
Triângulo de Pascal
Blaise Pascal (Clermont-Ferrand,
Puy-de-Dôme, 19 de Junho de 1623 - Paris, 19 de Agosto de
1662) foi um prodígio matemático.
Em
torno de 1650 escreveu o "Traité du Triangle
Arithmétique" publicado em 1665 e, juntamente com Pierre
Fermat, estabeleceu os fundamentos da teoria da
probabilidade.
Embora não tenha sido o primeiro a trabalhar com o
triângulo, este
tornou-se conhecido como "triângulo de Pascal" devido ao
desenvolvimento
e aplicações que Pascal fez de muitas de suas
propriedades.
Construído do modo como se vê a seguir, e
denominando-se as linhas de n = 1, 2,
... e as colunas de r = 0, 1, 2, ...
Cada entrada
C(n,r)
é a soma do número acima com o da sua esquerda
(também acima) de cada número.
Exemplo:
O número 2, na
posição C(2, 1) é
obtido pela soma de 1 (número acima dele) + 1
(número à esquerda, também acima).
O número 10, na
posição C(5, 2) é
obtido pela soma de 6 (número acima dele) + 4
(número à esquerda, também acima)
| n, r |
r = 0 |
r = 1 |
r = 2 |
r = 3 |
r = 4 |
r = 5 |
r = 6 |
| n = 0 |
1 |
. |
. |
.. |
. |
. |
. |
| n = 1 |
1 |
1 |
. |
. |
. |
. |
. |
| n = 2 |
1 |
2 |
1 |
. |
. |
. |
. |
| n = 3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
. |
. |
. |
| n = 4 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
. |
. |
| n = 5 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
. |
| n = 6 |
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
e prossegue-se até atingir os valores de n e r desejados.
Exercício
Complete: O número 20, na
posição C( __, __ ), é obtido
pela soma de __ + __.
Coeficientes binomiais
Uma das aplicações que
Pascal fazia do seu
triângulo era a determinação dos
coeficientes binomiais quando se faz a expansão do
binômio de Newton, sendo que eles correspondem aos
números C(n,r).
Por exemplo, a fórmula
(p
+q)2 = 1p2
+ 2pq + 1q2
tem os coeficientes 1, 2 e 1, que estão,
precisamente, na linha n = 2 no
triângulo.
Já, se alguém desejar a expansão de (p
+q)3 deverá tomar a linha n
= 3 no triângulo.
(p
+q)3 = 1p3q0
+ 3p2q1
+ 3p1q2 +
1p0q3
É importante lembrar que os coeficientes
também podem ser obtidos
diretamente pela fórmula:
C(n, r) = n! / r!.(n - r)!
Resumindo:
| no.
genes |
coeficientes |
no.
de combinações |
| 0 |
1 |
1 |
| 1 |
1 1 |
2 |
| 2 |
1 2 1 |
4 |
| 3 |
1 3 3 1 |
8 |
| 4 |
1 4 6 4 1 |
16 |
| 5 |
1 5 10 10 5 1 |
32 |
| 6 |
1 6 15 20 15 6 1 |
64 |
| 7 |
1 7
21 35 35 21 7 1 |
128 |
| 8 |
1
8 28 56
70 56 28 8 1 |
256 e continua...
|
Binômio de Newton
Isaac Newton, físico e matemático
inglês (1642 - 1727) deu
enorme contribuição à
Matemática, em 1687 quando escreveu "Principia
Mathematica".
Aqui é importante lembrar que denomina-se
Binômio de Newton, a todo
binômio da forma (a + b)n,
sendo n um número natural, que
é chamado de ordem do
binômio.
Assim, para determinar quais
são as combinações
possíveis quando uma distribuição
possui os parâmetros p e q,
faz-se a
expansão do
Binômio
de Newton: (p + q)n.
Para expandir uma
equação, pode-se seguir os passos:
1. Todos os membros terão o
termo p e, também, o q.
(Ou seja, deve existir o
termo p.q em todos os termos).
2. No primeiro membro atribui-se ao expoente
de p o valor n
e ao expoente de q
o valor 0. A seguir diminui-se de 1
o valor do expoente de p e
aumenta-se de 1 o valor do expoente de
q.
Continua-se até o último membro que deve
ter o valor 0 no expoente de p
o
valor n no expoente de q.
3. A soma dos expoentes de cada membro deve ser
igual ao expoente do binômio.
Portanto, a expansão de (p + q)2
é:
(p + q)2
= __ p2q0
+ __ p1q1 + __ p0q2
Lembrando que qualquer número elevado a zero é
igual a 1
e que não é necessário colocar o
expoente quando
for igual a 1, temos:
(p + q)2
= __ p2
+ __ pq + __ q2
4. Toma-se a sequência
numérica
obtida no triângulo referente ao número de
combinações
usado e distribui-se, ordenadamente.
| No.
Comb. |
Binômio
|
Equação
expandida |
| 4 |
(p
+ q)2 |
1p2q0
+ 2p1q1
+ 1p0q2 |
| 8 |
(p
+ q)3 |
1p3q0
+ 3p2q1
+ 3p1q2 +
1p0q3 |
| 16 |
(p
+ q)4 |
1p4q0
+ 4p3q1
+ 6p2q2 +
4p1q3
+ 1p0q4 |
| E
continua... |
Assim, a expansão de (p + q)2
gera:
p2
+ 2pq + q2
Para descobrir quais são os coeficientes das
equações com expoentes maiores que 4 é
conveniente
usar o Triângulo de Pascal, como descrito acima.
Herança quantitativa (ou poligênica)
Na
herança quantitativa dois ou mais pares de alelos
determinam o fenótipo. Por isso é
também
denominada herança poligênica.
Os alelos podem ser: aditivo
ou indiferente (ou não-aditivo).
Cada
alelo aditivo determina o
aumento da
intensidade da expressão do fenótipo,
não importando de qual par é esse
alelo aditivo.
Os alelos não-aditivos não
acrescentam nada na expressão
do fenótipo.
Herança quantitativa -
Identificação
Como identificar e diferenciar a herança
quantitativa das demais
heranças genéticas?
| Na
geração F2 há vários
fenótipos para uma certa
característica, com variação
contínua. |
Quando estão envolvidos 2 pares de
genes
haverá 5 fenótipos
possíveis. Se forem
3 pares serão 7
fenótipos. Se forem 4 pares
serão 9
fenótipos e assim por diante.
Em F2
o fenótipo
apresenta variação
contínua ou gradual.
Exemplo: No caso da cor da pele na
espécie humana, entre os
extremos (branco
e negro) há diversos fenótipos
intermediários, os vários tipos de mulatos.
A
frequência dos fenótipos
se distribui em uma curva
normal.
Os fenótipos dos tipos extremos
(mínimos e máximos) são os observados
em frequências menores, enquanto os
fenótipos intermediários são
encontrados em quantidades maiores. A
distribuição quantitativa desses
fenótipos
estabelece uma curva normal e mostra a expressividade do
caráter.
Expressividade do caráter
a = mínima, b = média,
c = máxima
Algumas fórmulas podem ajudar a resolver problemas:
1. O
número de fenótipos que podem ser encontrados
depende do número de pares de alelos
envolvidos, que
chamamos
n =
número de
fenótipos = 2n + 1
2. Pode-se calcular a frequência dos
fenótipos extremos
Frequência
de 1 fenótipo extremo = (1/4)n
3. Pode-se calcular quanto cada gene aditivo
acrescenta ao
fenótipo. ( Lembrar que número de genes
= 2n).
Valor do
gene aditivo = (fenótipo máximo -
fenótipo míimo ) / 2n
Exemplo: Cor da pele humana
No caso da cor da pele humana, considerando apenas 5
fenótipos,
envolvendo dois pares de genes N e B, que teriam a mesma
função,
ou seja, acrescentar uma certa quantidade de melanina à
pele, se
efetivos (N ou B)
ou não acrescentar nada, se não efetivos (n
ou b).
| Fenótipos
|
Número
de genes |
| negro |
4
genes efetivos
e 0 não efetivos |
| mulatos
escuros |
3
genes efetivos
e 1 não efetivo |
| mulatos
médios |
2
genes efetivos e 2 não efetivos |
| mulatos
claros |
1
gene efetivo e 3 não efetivos |
| branco |
0
genes efetivos
e 4 não efetivos |
Se acontecer um cruzamento entre
dihíbridos,
quais serão as proporções
fenotípicas da
descendência?
Resolução 1:
Com conhecimentos de Genética:
(quais são os
gametas
e os tipos possíveis de filhos gerados?)
NnBb x NnBb
Gametas produzidos por ambos: NB, Nb, nB e nb
| gametas |
NB |
Nb |
nB |
nb |
| NB |
NNBB |
NNBb |
NnBB |
NnBb |
| Nb |
NNbB |
NNbb |
NnbB |
Nnbb |
| nB |
nNBB |
nNBb |
nnBB |
nnBb |
| nb |
nNbB |
nNbb |
nnbB |
nnbb |
Observa-se que há 16
combinações
genotípicas diferentes, sendo :
| 1
negro |
4
genes efetivos
e 0 não efetivo |
NNBB |
menor
frequência = 1/16 |
maior expressividade |
| 4 mulatos
escuros |
3
genes efetivos
e 1 não efetivo |
NNBb
ou nNBB |
. |
. |
| 6 mulatos
médios |
2
genes efetivos
e 2 não efetivos |
NNbb,
nnBB
ou NnBb |
maior frequência = 6/16 |
média expressividade |
| 4
mulatos
claros |
1
gene efetivo e 3 não efetivos |
Nnbb
ou nnBb |
. |
. |
| 1
branco |
0
gene efetivo
e 4 não efetivos |
nnbb |
menor frequência = 1/16 |
mínima expressividade |
Ou seja, na
descendência chega-se à seguinte
proporção fenotípica:
1 negro : 4 mulatos escuros : 6 mulatos
médios : 4 mulatos claros : 1 branco
Resolução 2:
Usando
o Triângulo de Pascal:
Chama-se de p = genes efetivos = 2
(N ou B) e de q = genes não efetivos = 2 (n ou b)
Procura-se no triângulo a linha
em que o número de genes é igual a 4.
| no.
genes |
coeficientes |
| 0 |
1 |
| 1 |
1 1 |
| 2 |
1
2 1 |
| 3 |
1 3 3
1 |
| 4 |
1 4 6 4
1 |
| 1
negro |
4
efetivos
e 0 não efetivo |
1
p4 q0 |
| 4 mulatos
escuros |
3
efetivos
e 1 não efetivo |
4
p3q1 |
| 6 mulatos
médios |
2
efetivos
e 2 não efetivos |
6 p2q2 |
| 4 mulatos
claros |
1
efetivo e 3 não efetivos |
4
p1q3 |
| 1 branco |
0
efetivo e 4 não efetivos |
1 p0
q4 |
Portanto, na
descendência chega-se à seguinte
proporção fenotípica:
1 negro : 4
mulatos escuros : 6 mulatos médios : 4
mulatos claros : 1 branco
E a
equação
será:
(p + q)4 = 1 p4q0
+ 4 p3q1 + 6 p2q2
+ 4 p1q3
+ 1 p0q4
ou seja:
(p + q)4 = p4
+ 4 p3q + 6 p2q2
+ 4 pq3
+ q4
Exercícios
Qual é a equação que representa a
expansão
dos seguintes binômios:
a. (p + q)6
b. (p
+ q)8
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